「これに決めたいと思います（でも、それにはあなたの承認サインが必要だから、よろしくね）！」って言いたいときの表現です。"We'd like to introduce this new program subject to your approval."と言えば、「この新しいプログラムを導入したいです。あなたの承認次第で」という意味。日本語らしく訳すと後ろから「あなたの承認次第で、この～」って訳すんだろうけど、それだと英語のニュアンスがうまく出ないように思います。英語をすっと頭に入れるには、やっぱり英語の語順で考えることも大事です。会話の中で順番を並べ替えている余裕はないから･･･
ここでは"subject"は形容詞ですが、名詞だと「対象」という意味。法令みたいな堅い文章で「当人」「本人」を指すときにも、この語を使いますね。
